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筆算(ひっさん)とは、紙の上で、鉛筆やペンを用いて計算することである。
概要
紙に何かを書いて計算の答えを出すものは、筆算である。
端的には、2+3を計算するのに2個と3個マルを描いて「5」を求めるのも筆算といえるし、「48+28=76」と単に数式を書いて求めても筆算と言える。
これは、「筆算」が「計算機を用いた計算」に対する語だからである。
英語でもcalculate on paperなどそのままの言い方をし、後述の「筆算」という操作に対して特別な単語を用いるわけではない。
しかし、日本で通常「筆算」といった場合、数式とは異なる書式の書き方で、一定のアルゴリズムに沿って答えを求めるものがそう呼ばれることが多い。
筆算の長所・短所
この項における「筆算」は、「紙で計算すること」すべてを指す。
特別な器具がなくとも、紙とペンがあれば、どこでも計算が可能である。
そのため、わざわざ計算機を探しに行く必要がない。
計算機は、(電子計算機の登場以前は)各演算ごとに異なったものを用意する必要がある。
例えば、そろばんやタイガー計算機は足し算と引き算しか計算できず、これの応用で間接的に掛け算や割り算が計算できるにとどまる。
逆に、計算尺は(一般的なものは)足し算と引き算が計算できない。
一方、筆算は、使う記号さえ工夫すれば同じ道具でどんな計算でも可能なのである。
中近世ヨーロッパにおいては、算盤(アバクス)と比べて遥かに高速に計算できることが利点であった。当時の算盤は、線を引いた板の上に石を置いて求めるものだったり、溝に玉をはめこんだ大掛かりなものであり、操作に時間がかかったためである。
日本では、中国文化との関わりによって江戸時代頃から高速演算に耐えうる「そろばん」が普及していたため、このメリットは薄いかもしれない。江戸と明治の境目になると『洋算用法』『西算速知』といった書籍を皮切りに西洋の筆算法が輸入され、学校教育に採用されたことで広く知られていくこととなった。
計算の過程や結果が紙の上に残ることは、指導者がミスを追跡しやすくするだけでなく、発達障害などで短期記憶の弱い者が、途中の計算をいちいち覚えなくてすむという利点もある。
一方、紙とペンだけは用意しなければならないことが欠点である。
外出先などで計算が必要になった場合、ペンがないなら棒きれで地面を引っ掻いて計算したり、紙がないなら腕にでも書くしかない。汚せるものがなにもない場合、計算できない。
また、暗算は上達すれば筆算よりも遥かに高速に計算できるため、これができる場合、「紙に線を引く」という物理的動作が必要な筆算は逆に手間となる。
筆算の方法
以下に、筆算の代表的なアルゴリズムを説明する。特記がない限り、日本で一般的な計算方法である。
アルゴリズムを重視しているため、小学校の教科書の書き方とは若干異なる。
加法
計算したい数を位を揃えて縦に並べ、各位ごとに計算する。
計算する順序は、後述の「繰り上がり」を考慮して下位から行うのが普通である。
23+34
2 3 + 3 4 5 7
この際、その位の計算結果が10以上になる場合は、一つ上位にその計算の十の位以上を加える。
この操作を「繰り上がり」と呼ぶ。
49+34
1 4 9 + 3 4 8 3 一の位が13となるため、1を十の位に繰り上げる。
減法
減法も、原則として各位ごとに計算する。
引く数のほうが大きい場合、その位の引かれる数に10を加えた数から引き、代わりに上位の引かれる数から1を引く。この操作を「繰り下がり」という。
52-38
54 12 - 3 8 1 4 一の位の「2-8」は「引けない」ため、十の位から1を引いて(小学校では「お隣から1借りて」という)、12-8として計算する。
十の位は、繰り下げているので4-3として計算する。
乗法
乗法も加法・減法と同じような書式を用いるが、計算の仕方は異なる。
乗法公式を利用する。
2桁の計算であれば、(10a+b)(10c+d)=100ac+10ad+10bc+bdであることを利用し、かけられる数の各位をかける数の各位にそれぞれ乗じる。
85×49
注釈 8 5 × 4 9 4 5 →05×09 7 2 0 →80×09 2 0 0 →05×40 3 2 0 0 →80×40 1 ※繰り上がり分 4 1 6 5 実際の計算では、青字の「0」は省略し、空欄とすることが多い。
上記は、「ネイピアの骨」を用いた計算法と同じアルゴリズムである。
(ネット上では、下記動画のように形を変えたものが「インド式」や「(欧米では)日本式」など計算が得意そうな国の名前で紹介されることがあるが、オリジナルはオランダの数学者ネイピアである)
繰り上がりを覚えている必要がなく、九九を順番に書いていけばよいが、書くことが多く、3項以上の足し算を何度もする必要があって手間である。小学校の教科書では、複数桁×1桁の計算は1行で済ませ、下記のようにしている場合が多い。
(上付き赤字は繰り上がり)
8 5 × 4 9 7 64 5 3 42 0 41 1 6 5
乗算は位取りに多少の自由が利き、例えば下記のように計算してもよい。
3 6 0 0 0 × 7 8 0 0 0 0 0 0 4 8 2 4 4 2 2 1 2 81 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0
36000×78000000=36×78×1000×1000000であることを利用している。
ゼロの数は、3つ+6つで9つである。
これを利用すれば、小数の乗算にも応用できる。
2.56×6.5
2● 5 6 × 6● 5 1 2 8 0 1 5 3 6 1 6● 7 4 0
答えの小数点の位置は、かけられる数とかける数の小数点以下の桁数を足したものとなる。
上記の例では、小数点以下2桁×1桁なので、答えは小数点以下3桁となる。
2.56×6.5=256×65×0.01×0.1と分解すれば、答えは16740×0.001となるためである。
除法
割り算の筆算は、上記3つとは形も計算方法も異なる。
そもそも「÷」という記号がどこにもないため、初学者が困惑しがちである。
「割る数×商」を割られる数から引くとあまりが求められることを利用する。
上位のあまりは下位の十の位として利用する。そのため、上記3演算と異なり、筆算は上位から行う。
また、日本式の場合、答え(商)は上に書き、一番下に表されるものはあまりである。
5 7 ) 4 0 3 5 5 九九から、7をかけて40を超えない最大数の見当をつけ、商として5を立てる。
その下に7×5を計算し、40から引くとあまりが求められる。
商が2桁以上になる場合は、上位1桁目から順に計算する。
589÷6 (同上)
9 8 6 ) 5 8 9 5 4 4 9 4 8 1
割る数が2桁以上のときも同様の考え方だが、商を立てるときに2桁の掛け算をする必要があり、難易度が上がる。
456÷18 (同上)
2 5 1 8 ) 4 5 6 3 6 9 6 9 0 6 上2桁の「45÷18」を行う。
18にかけて45を超えない最大数の見当をつける。
18×1=18
18×2=36
18×3=54
なので商は2である。
「割る数と割られる数に同じ数をかけても(割っても)商は変わらない」という性質を利用すれば、0の省略や小数の計算ができる。
ただし、あまりの位取りは元の数の割られる数と同じになることに注意。
例えば、70÷30の商は7÷3と同じで2だが、あまりは10である。
1 3 8 3 6 0 0 0 ) 4 9 8 5 0 0 0 3 6 1 3 8 1 0 8 3 0 5 2 8 8 1 7 0 0 0 除数・被除数ともに1000で割り、0を3個消して計算を始める。
商は138だが、あまりは消した0が復活して17000となる。
47.569÷3.18
1 4● 9 3● 1 8● ) 4 7● 5 6● 9 3 1 8 1 5 7 6 1 2 7 2 3 0 4 9 2 8 6 2 0● 1 8 7 除数・被除数ともに100をかけて小数点を2個右に移動させ、除数の小数点を消してから計算を始める。
あまりの小数点は元の数と変わらないため、商は14.9、あまりは0.187となる。
また、除算では、計算を打ち切らなければ際限なく細かい位に進んでいく「無限小数」が現れることが多々ある。この一種の「無限」は、小学校において、無限大よりも先に正式に触れることになる無限だと言われる。
素因数分解
商を割り切れる素数で割っていく操作を1になるまで続けると、割る数の積が素因数分解である。
学校数学では、割り算の筆算を上下逆にしたように商を下に書いていき、あまりの計算は省略する。
2 ) 1 0 8 1 0 8 0 2 ) 5 4 0 5 4 0 2 ) 2 7 0 2 7 0 3 ) 1 3 5 1 3 5 3 ) 4 5 0 4 5 3 ) 1 5 0 1 5 5 ) 5 0 0 5 7 ) 1 0 0 1 1 1 ) 1 4 3 1 3 ) 1 3 1
開平・開立
「開平法」「開立法」の記事に筆算方法が記載されているため、そちらを参照されたい。
10進数からN進数への基数変換
乗法・除法それぞれの筆算を応用する。
10進数の実数を整数部（小数点より左）と小数部（小数点より右）とに分け、整数部には除法の、小数部には乗法の筆算の変形を用いて解く。最終的にそれらを足し合わせた値が答えである。
以下具体例として、10進数の実数6.375の2進数への基数変換（N=2）を試みる。
6 . 3 7 5 整数部 小数部
整数部にはNで割る除法の筆算を繰り返す。ただし、Nと商を掛けた積の行を省き、商を下に書く（商を上に書くやり方もある）。あまりが求まった時点で計算を打ち切り、あまりを右横に書き留めておく。求まった商を新たな割られる数として、同様の作業を、商が0になるまで繰り返す。低い位が先に求まるため、右横に書き留めておいたあまりの列を下から読み進めていけば整数部の答えとなる。
10進数の実数6.375の整数部（6）を2進数に基数変換する。
N 商 あまり 読み進める方向 注釈 2 ) 6 6÷N=3…0 2 ) 3 … 0 ↑ 3÷N=1…1 2 ) 1 … 1 ↑ 1÷N=0…1 0 … 1 ↑
小数部にはNを掛ける乗法の筆算を繰り返す。ただし、下図に比べれば途中計算は何行か省いて書くことが多い。求まった積から整数部を抜き出し、残った値を新たな掛けられる数として、同様の作業を、積の小数部が0になるまで繰り返す。こちらは高い位から求まるので、抜き出した値を上から読めばよい。
10進数の実数6.375の小数部（0.375）を2進数に基数変換する。
読み進める方向 注釈 0 . 3 7 5 × 2 N＝2 ↓ 0 . 7 5 0 0.375×N＝0.75 0 . 7 5 整数部を消す × 2 N＝2 ↓ 1 . 5 0 0.75×N＝1.5 0 . 5 整数部を消す × 2 N＝2 ↓ 1 . 0 0.5×N＝1 小数部（0.375）の2進数表示は0.011となる。
ここまでで変換が済んだ整数部と小数部とを足し合わせた値が、数全体をN進数へと基数変換した結果となる。
具体例では、10進数から2進数への基数変換（N=2）を示したが、Nの値が何であっても構わない。ただし、変換後の小数部が無限小数となるときは、この素朴な方法では作業が完遂しない。2進数への基数変換過程で無限小数を生じさせるものの例として、10進数の小数部が0.1のときが挙げられる。浮動小数点問題[1]と呼ばれるものだが、本筋から外れるので割愛する。
ちなみに、2進数の3桁は8進数の1桁に対応し、2進数の4桁は16進数の1桁に対応している。
| 2進数 | 0 | 1 | 1 | 0 | . | 0 | 1 | 1 | 0 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 8進数 | 6 | . | 3 | ||||||
| 16進数 | 6 | . | 6 | ||||||
要するに、2進数表示さえ判明すれば、以下の対応表を参照して、8進数や16進数での表記を容易に求めることができる。
| 10進数 | 2進数 | 16進数（太字: 兼8進数） |
|---|---|---|
| 0 | 0000 | 0 |
| 1 | 0001 | 1 |
| 2 | 0010 | 2 |
| 3 | 0011 | 3 |
| 4 | 0100 | 4 |
| 5 | 0101 | 5 |
| 6 | 0110 | 6 |
| 7 | 0111 | 7 |
| 8 | 1000 | 8 |
| 9 | 1001 | 9 |
| 10 | 1010 | A |
| 11 | 1011 | B |
| 12 | 1100 | C |
| 13 | 1101 | D |
| 14 | 1110 | E |
| 15 | 1111 | F |
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関連項目
脚注
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